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Préface

La modélisation mathématique de phénomènes complexes en physique, mécanique, biologie,
etc s’effectue au moyen d’équations aux dérivées partielles (edp). L’objectif de ce cours est de
se familiariser avec les équations aux dérivées partielles les plus connues. Nous aborderons les
équations de transport, les équations de Laplace et de Poisson, ainsi que les équations para-
boliques (équations de la chaleur, de réaction-diffusion). Les pré-requis pour ce cours sont d’un
niveau relativement modeste. Il s’agit principalement de formules d’intégration par parties (Gauss-
Ostrogradski, Green), qui sont rappelées dans l’introduction.

Le deuxième chapitre est consacré à l’étude des équations de transport. Ce sont des edp du
premier ordre, intervenant dans le trafic routier, les modèles cinétiques des gaz, la biologie, etc.
On traite les solutions fortes/faibles et on distingue les cas à coefficients constants et variables.
On établit le caractère bien posé de ce problèmes par la méthode des caractéristiques, dont l’outil
principal est la notion de flot caractéristique. Une application importante porte sur les équations
cinétiques. Il s’agit d’étudier la dynamique d’une population de particules chargées, sous l’action
d’un champ électromagnétique donné. Afin d’étudier la fusion par confinement magnétique, nous
allons nous intéresser au comportement de la densité de présence des particules dans l’espace des
phases, lorsque le champ magnétique devient très intense. On sépare les échelles de temps, et on
en déduit des approximations (dites gyrocinétiques), en moyennant par rapport au mouvement
rapide de rotation autour des lignes de champ magnétique.

Dans le troisième chapitre on étudie les équations de Laplace et de Poisson. Ce sont des edp
linéaires du deuxième ordre qui modélisent des phénomènes d’équilibre : potentiel électrostatique,
membrane en équilibre, champ gravitationnel. Dans un premier temps on considère les solutions
fortes (classiques). On introduit la notion de solution fondamentale et on étudie les principales
propriétés des fonctions harmoniques : propriété de la moyenne, principe du maximum. Dans un
deuxième temps on s’intéresse aux solutions faibles, en introduisant les espaces de Sobolev et en
faisant appel à la théorie variationnelle (Lax-Milgram).

Dans le quatrième chapitre on s’intéresse à l’équation de la chaleur, qui modélise des phénomènes
d’évolution : propagation de la chaleur, répartition de substances chimiques, mélanges d’espèces,
etc. On étudie la solution fondamentale, on justifie l’existence de solution classique pour les
problème de Cauchy dans l’espace tout entier, on établit la formule de la moyenne pour l’équation
de la chaleur (sur les boules dites de chaleur) et on en déduit le principe du maximum.

Quelques rappels de cours sont présentés en annexe. L’annexe A est consacrée aux méthodes
variationnelles : théorème de projection sur un ensemble convexe, fermé, non-vide, théorèmes de
Stampacchia, Lax-Milgram. Dans l’annexe B on rappelle les espaces de Sobolev et les principales
propriétés.

Chaque chapitre est suivi d’exercices dont la résolution permettra de contrôler le niveau de
compréhension des notions présentées.

Le cours est décrit dans la première page de garde, envoyée dans le premier envoi.