L2 commun Mathématiques-Informatique-Mathématiques-Générales

Les séries numériques sont des suites de sommes de nombres, faites d'un nombre de plus en plus grand de termes. Le premier objectif de ce cours est de savoir déterminer si une somme infinie de nombres donne un nombre réel ou non, et éventuellement de calculer cette somme infinie lorsqu'elle existe. On verra notamment des séries de référence, comme les séries géométriques, les séries de Riemann.

La deuxième partie du cours portera sur les intégrales de fonctions sur des intervalles du type [a,b]. On reverra notamment les trois méthodes essentielles pour le calcul d'intégrales, à savoir la recherche d'une primitive, l'intégration par parties et le changement de variable. On verra également comment généraliser la notion d'intégrale des fonctions continues à l'intégrale, dite de Riemann, qui peut s'appliquer à des fonctions discontinues, comme les fonctions en escalier par exemple.

Enfin, la dernière partie du cours sera consacrée à la définition d'intégrales généralisées, par exemple des intégrales de fonctions définies sur des intervalles non bornés, comme [0,+∞[. On établira notamment le lien entre intégrales généralisées et convergence de certaines séries numériques.

Citons ici les noms de quelques grands mathématiciens qui ont développé les idées à la base de ce cours: Cauchy (1789-1857), D'Alembert (1717-1783), Riemann (1826-1866). Les théories ont certes été développées il y a déjà un certain temps, mais les notions enseignées et les calculs de sommes de séries et d'intégrales sont toujours d'actualité.