14h cours + 6h TD, examen de 3h.
Résumé :
1. Histoire du Mouvement brownien, introduction via les marches aléatoires. On in-
troduira la longue histoire du mouvement Brownien, de sa première observation, à ses explications
physiques, et sa conceptualisation mathématique. On étudiera la convergence des marches aléatoires
vers ce nouvel objet mathématique : le mouvement Brownien. On donnera sa définition mathéma-
tique rigoureuse et ses premières propriétés.
2. Propriétés du Mouvement Brownien. Intégrale stochastique, formule d’Itô. On
continuera l’étude des propriétés du mouvement Brownien (régularité des trajectoires, temps de
sortie,. . . ). On expliquera comment définir l’intégrale stochastique au sens d’Ito, en insistant sur la
fondamentale formule d’Ito.
3. Lien avec l’équation de la chaleur. Ces outils probabilistes nous permettrons de basculer
vers l’analyse. Grâce à la formule d’Ito, nous ferrons le lien avec l’équation de la chaleur. Nous
parlerons des solutions fondamentales de celles-ci, de son noyau, et des liens avec les probabilités
de transition du mouvement Brownien. On expliquera comment le mouvement Brownien permet de
donner des représentations probabilistes d’équations elliptiques (voire paraboliques).
4. Simulation. Schéma d’Euler explicite. Aperçu des problèmes posés quand le terme intégré
dépend du Brownien.
Références : Comets Meyre : Calcul stochastique et modèles de diffusion.
UE obligatoires : aucune, UE recommandées : EDP aspects théoriques, Modèles markoviens.
- Enseignant: Maxime HAURAY