AMeTICE - Enseigner et apprendre avec le numérique

Le but du cours est triple.
1) Formuler la conjecture de Selberg, sur les valeurs propres du laplacien sur les surfaces hyperboliques, définies par les sous-groupes de congruences.
2) Décrire une famille de graphes, dite de Ramanujan, qui ressemble aux surfaces hyperboliques de la conjecture de Selberg.
3) Exprimer les propriétés spectrales de ces surfaces et de ces graphes, à l'aide de la théorie des représentations unitaires.
Toutes les notions nécessaires sont développées pas à pas. La géométrie hyperbolique et les actions de groupes jouent un rôle important dans ces questions. Les nombres p-adiques y sont très utiles. Le fil conducteur du cours est une analogie remarquable entre le continu et le discret, qui associe le plan hyperbolique à l'arbre homogène de degré p+1, le groupe modulaire sur les réels au groupe modulaire sur les nombres p-adique, le laplacien hyperbolique au laplacien sur les arbres.